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第9回

一対多対応の学習は、どのような順序で行えばよいか

９月からスターとしたこぐま会の受験対策クラスの授業も、３月から基礎段階の最後である「ステップ４」に進みました。今年秋に受験される皆さんも、基礎段階の学習もほぼ終え、４月以降は、実際に出題された「過去問」のトレーニングに入っていくと思います。自分の力で考えなくてはならない問題が多い最近の入試問題を見るにつけ、基礎学力をしっかり身につけておかなければなりません。あせって、ペーパーのみの「過去問トレーニング」だけでは、基礎学力は身につきません。

数における基礎学力は、将来の四則演算につながる内容を、生活場面に合わせて学ぶことですが、最大の課題は掛け算の考え方の基礎となる「一対多対応」の学習です。２０１３年度の入試でも、多くの学校で出題されています。例えば、次のような問題です。

単純な一対多対応の問題と、それを応用した「つりあい」や「交換」の問題とがありますので、学習する順序を間違えないで行う必要があります。
上記１の内容は「お客さんが４人来ました。ひとりに３枚ずつお煎餅をあげるには、全部で何枚あればよいですか」という基本問題が解れば問題なく解けるはずです。しかし、２のような問題になると、「置き換え」の発想が必要となり、思考力が要求されます。
◎と●の関係、●と○の関係を踏まえ、すべて○に変える問題ですが、交換の問題としては、かなり基本の問題です。
私が、４０年間の受験指導の中で、一対多対応に関する一番難しいと感じている問題は、以前紹介した、雙葉小学校のハンバーガーに関する交換の問題です。

この問題は、毎年父親の集まりである「土曜ゼミ」で実際に解いてもらっていますが、大人にとっても難しい問題です。
何が難しいか？
難しくしている最大の要因は、「ハンバーガー１個は、メロンパン１個とドーナツ１個に換えてもらえる」という約束です。従来の問題のほとんどが、交換条件の数こそ違え、一種類のものと一種類のものが交換できる条件ばかりでしたが、この問題は、一種類のものが二種類のものと交換できるとなっています。こうした交換条件は初めてだと思います。そのため、最後の問題が難しくなるのです。
ちなみに、最後の問題を受験間近な子どもたちに出題しても、三分の一ぐらいの子どもしか正解できません。どんな答えが出てくるかというと、「２」「４」「６」といった答えが見られます。
なぜそうした答えになったのか、一人ずつ説明させると、間違えてしまった理由は必ずあります。その間違いを一人一人正してあげれば、必ず正解の「３」にたどり着きます。あと一歩の作業が足りなく、正解に至っていないのです。

では、この雙葉の問題をどのように学習したらよいのか、具体的にお伝えしましょう。
それは、同時に「一対多対応」の学習の仕方につながりますので、ぜひ順序を踏まえて学習してください。この問題は、原則として、３つの段階を踏まえて学習します 。

１−Ａ　メロンパン３個はドーナツいくつと換えてもらえますか
１−Ｂ　ドーナツ８個は、メロンパンいくつと換えてもらえますか
２−Ａ　食パン２斤は、ドーナツいくつとかえてもらえますか
２−Ｂ　ドーナツ８個は、食パン何斤と換えてもらえますか
３−Ａ　ハンバーガー４個は、食パン何斤と換えてもらえますか
３−Ｂ　食パン３斤は、ハンバーガー何個と換えてもらえますか

１のＡ・Ｂの段階は、単純に一つの約束をもとに、問いかける問題ですが、Ｂのように逆から聞くこと（割り算の包含除）も忘れないでください。
メロンパンからドーナツを聞く問題だけを練習していると、逆から問いかける問題に答えられない場合が出てきます。
２のＡ・Ｂは、あるものに一度置き換えて練習する課題です。この場合、メロンパンに一度置き換えて考える問題です。この考え方は、シーソーのつりあいの難しい問題の解き方につながっていきます。
最後の３のＡ・Ｂの問題が一番難しいはずです。子どもたちの考え方に沿って解説してみると、典型的な間違いは「４」と答える子どもです。この子は、次のように考えて「４」としてしまうのです。

１　ハンバーガー４個は、メロンパン４個とドーナツ４個に換えられる
２　メロンパン４個は、食パン２斤
３　ドーナツ４個は、メロンパン２個

ここまでは全く問題なく正しいのですが、ここで止まってしまい、２と２で４個としてしまうのです。ドーナツを変えたものがメロンパンであるということがしっかり意識できていれば、もう一度そのメロンパン２個を食パン１斤に換え、合計で３斤となるのに、あと一歩のところで止まってしまっているのです。４は正解ではありませんが、正解にかなり近いところまで考えが及んでいるのです。
「間違いには必ず原因がある」・・・これを我々大人は肝に銘じておくべきです。
どこで間違えてしまったのかを見つけ、子どもの思考に沿って修正してあげれば、この難しい問題も解決に至るのです。「２」と答えた子どもは、ドーナツを捨ててしまった子ども、６と答えた子どもは、ドーナツの数をそのまま、食パン２斤と合わせてしまった間違いです。やはりドーナツの処理に問題があるのです。
「３」という正解に至った子どもも、最初にドーナツ４個をメロンパン２個に換え、メロンパン６個を食パン３斤に換えた子はほとんどいません。多分、メロンパンが出た段階で、すぐに約束が目につき、まずメロンパン４個を食パン２斤に換えてしまうのでしょう。子どもらしい発想がそこに見られます。
一対多対応の問題は、入試における数の問題の中心になっていますし、「つりあい」や「交換」といった難しい問題に応用されていきます。
今回は、雙葉の問題を素材に、その学習法をお伝えしましたが、段階を踏んで学ぶ一つの典型として実際にやってみてください。

（注）「一対一対応」の言葉は辞書を引けば出てきますが、「一対多対応」の言葉は、辞書を引いても出てきません。これは、私が「ひとりでとっくん」シリーズの問題集を作る際に、「一対一対応」にならって「一対多対応」と命名した造語です。

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